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Propädeutische Einführung in die Trigonometrie

 

 

Einführung in die Trigonometrie

 

  1. Propädeutische Einführung in die Trigonometrie

Winkel messen

 

 

 

 Dieser Winkel hat ca. 28°. Dieser Winkel hat ca. 142°.

 

 

 Dieser Winkel hat 90°.

 

  

 Zeichne einen Winkel mit 78°. Zeichne einen Winkel mit 134°.

 

Zeichen einen Winkel mit 180°.

 

 Besondere Winkel

 

 Ein rechter Winkel hat genau 90° und wird mit „“ kennzeichnet.

 

 

 Spitzer Winkel:

Ein spitzer Winkel hat zwischen 0° und 90°. Er ist kleiner als eine rechter Winkel.

 

z. B.:

 Stumpfer Winkel:

Ein stumpfer Winkel hat zwischen 90° und 180°. Er ist größer als ein rechter Winkel und kleiner als eine gestreckter Winkel (180°).

 

z. B.:

 

 

 

 

 

 

 

 

Zeichne ein beliebiges Dreieck und miss alle 3 Winkel.

Addiere die Winkel. Was kommt dabei heraus?

 

90° + 42° + 53° = 180°

 

Die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180°.

 

 

Einführung in die Trigonometrie

1. Globalziele. Einordnung

 

  • Die Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck basieren auf den Gesetzen der Ähnlichkeit. Diese Beziehungen müssen offengelegt werden:

Die zentrale Einsicht ist folgender Sachverhalt aus der Ähnlichkeit:

Da zwei Dreiecke schon dann zueinander ähnlich sind, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen, sind rechtwinklige Dreiecke schon dann zueinander ähnlich, wenn sie in einem spitzen Winkel übereinstimmen. Die Vorgabe eines spitzen Winkels alleine bestimmt die Form eines rechtwinkligen Dreiecks eindeutig, d.h. alle rechtwinkligen Dreiecke mit diesem spitzen Winkel sind zueinander ähnlich.

Daher stimmen alle rechtwinkligen Dreiecke mit gleichem spitzem Winkel in entsprechenden Seitenverhältnissen überein. Diese Seitenverhältnisse sind folglich allein vom vorgegebenen spitzen

Winkel abhängig, also Winkelfunktionen. Man nennt sie sin, cos, tan.

Die eigentliche Dreiecksberechnung („Trigonometrie“) ist nach wie vor wichtigstes Anwendungsgebiet der Winkelfunktionen.

Der Funktionscharakter der trigonometrischen Funktionen muss klar erarbeitet und deutlich dargestellt werden.

 

3. Grobgliederung in Stufen

1. Stufe: 
Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck, also mit dem Definitionsbereich 0° < x < 90°.

Stufe:
Erweiterung auf stumpfe Winkel: Sinus- und Kosinussatz am beliebigen Dreieck.

3. Stufe:
Definition am Einheitskreis und Erweiterung des Definitionsbereichs auf reelle Argumente.

Hinweis:
Beim Verzicht auf Sinus- und Kosinussatz wird Stufe 2 hinfällig.

 

4. Zur Stufe 1: Zugang zu den Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck.

 

Eingangsfrage: Mit welcher Winkelfunktion soll man beginnen?

Für sin spricht seine grundsätzliche Bedeutung, für tan jedoch die mannigfachen Anwendungen, vor allem der Steigungsbegriff. Dieser bildet einen einfachen, harmlosen aber inhaltsreichen Zugang mit vielerlei Anknüpfungspunkten am bisherigen Mathematikunterricht. Diesen Zugang wollen wir hier etwas ausführen.

Einführende Problemstellung:

Was bedeutet 10%, 20%, ..., 50%, ... , 100% Steigung? Gibt es auch Steigungen von 150% ? Verkehrszeichen; Steigfähigkeit von KFZ; Steilheit eines Daches; etc.

 

 

Man kann eine Steigung angeben

Entweder durch den

Neigungswinkel x

oder durch die

 

Steigung m = tan x = h/w= h*/w*

Dabei bedeutet h den Höhenzuwachs und w die waagrechte Entfernung (nicht die zurückgelegte Strecke!!!). Steigungen von Straßen oder Eisenbahnstrecken werden in dieser Form (nicht als sin) angegeben.

Als Verhältnis zweier Strecken ist die Steigung eine reine Zahl, keine Länge!

Als ersten Schritt wird man sich ein Bild über den Zusammenhang von Neigungswinkel und Steigung verschaffen und zeichnerisch Näherungswerte bestimmen und in eine Tabelle eintragen. Am besten wählt man dafür w konstant z.B. mit 100 mm, dann sind die Werte für tan x leicht abzulesen:

 

 

Neigungswinkel x

10°

20°

30°

...

 

 

 

 

90°

Steigung  m = tan x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aufgabe 1:

  1. Zeichnen Sie in eine Zeichnung verschiedene rechtwinklige Dreiecke mit spitzen Winkeln von 10°, 20°, 30°, ..., 80°. (Wählen Sie die Länge w vorteilhaft und konstant!).

  1. Messen Sie die entsprechenden Seitenlängen h und w ab und berechnen Sie das Verhältnis h : w. Füllen Sie nun die obenstehende Tabelle aus.

  2. Zeichnen Sie ein Schaubild der Funktion y = tan x im Bereich 0<x<90°. Geeignet sind folgende Einheiten: x-Achse: 1 cm für 30°; y-Achse: 1 oder 2 cm für die Einheit.

Zur Überraschung der meisten Schüler wird sich herausstellen, dass die Steigung von 100% zum Neigungswinkel 45° gehört und nicht zum Neigungswinkel von 90° und dass es durchaus Steigungen mit mehr als 100% gibt!

Bereits an dieser Stelle könnte man – zur Unterstreichung des Funktionscharakters – ein Schaubild der Funktion tan: x  tan x zeichnen lassen und Zwischenwerte ablesen lassen.

Nun wird man umgekehrt zu gegebener Steigung auch den zugehörigen Neigungswinkel ermitteln lassen, indem man – z.B. wieder mit w = 100 mm – verschiedene Werte für h vorgibt und den zugehörigen Neigungswinkel durch Zeichnung ermittelt:

 

Steigung  m = tan x

0,10

0,20

0,30

...

1,00

1,50

2,00

5,00

10,00

10%

20%

30%

 

100%

150%

200%

500%

1000%

Neigungswinkel x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aufgabe 2:

  1. Zeichnen Sie rechtwinklige Dreiecke mit verschiedenen Verhältnissen h : w von Gegenkathete h und Ankathete w mit den Werten 10%, 20%, 30%, ..., 100%, 150%, 200%, 250%.

  1. Bestimmen Sie zu jedem Verhältnis h : w den zugehörigen Neigungswinkel x. Tragen Sie Ihre Wertepaare in die obige Tabelle ein und ergänzen Sie die Zeichnung von Aufgabe 1 mit den entsprechenden Punkten.

Der nächste Schritt wird nun sein, die tan-Werte von besonderen Winkeln genau zu ermitteln, indem man bekannte Figuren betrachtet und die Werte mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ermittelt:

Für den Winkel x = 45° eignet sich das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck (diagonal halbiertes Quadrat). Man kennt die Länge der Seiten und ermittelt damit

 

tan 45° = 1,00. (ZEICHNUNG!)

 

In analoger Weise kann man die Werte für  x = 30°  und  x = 60°  am halben gleichseitigen Dreieck gewinnen (ZEICHNUNG!), dessen Höhe sich zum  x-fachen der Seitenlänge berechnen lässt. 
Daher erhält man  tan 30° =» 0,577  und   tan 60° = » 1,73

An dieser Stelle ist es angebracht, auch noch die „Randwerte“  0°  und  90°  für den Winkel  x  zu betrachten: Für  x = 0°  drängt sich – aus Stetigkeitsgründen (siehe Schaubild) – der Wert   tan 0° = 0  auf, während sich  tan 90°  nicht sinnvoll definieren lässt (man müsste den Wert  ¥  wählen).

Nun wird es Zeit, diese Erkenntnisse zusammenzufassen:

 

Alle rechtwinkligen Dreiecke mit demselben spitzen Winkel x haben dasselbe Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete (vom spitzen Winkel aus betrachtet).

Dieses Verhältnis ist also allein durch den spitzen Winkel bestimmt.

Man nennt es den Tangens dieses Winkels:

 

tan x = Gegenkathete / Ankathete.

 

Zur weiteren Verwendung dieser Funktion für geeignete Anwendungen wird man nun den Elektronischen Taschenrechner verwenden, in dem i.d.R. die Tangensfunktion eingebaut ist. In einfachen Übungen wird man zu Winkeln den Tangens und zu Tangenswerten den Winkel ermitteln lassen.

Mit dieser Kenntnis ausgerüstet lassen sich viele Anwendungsaufgaben zum Thema Steigung sowie Berechnungen von rechtwinkligen Dreiecken durchführen, so dass die Schüler mit dem Tangens vertraut werden.

Aufgaben-Beispiele:

  • Schattendreiecke und Erhebungswinkel (Höhenbestimmungen z.B. von Masten, Türmen und Gebäuden oder historisch den Pyramiden).

  • Aristarch von Samos (300 vor Chr.; Vertreter des heliozentrischen Weltbildes):

 

Bei exaktem Halbmond wollte er den Winkel x messen (sein „Messwert“ x = 87°) und damit das Verhältnis der Entfernungen Sonne-Mond und Erde-Mond (und damit auch das Verhältnis von Sonne-Erde zu diesen) bestimmen.

 

Welches Verhältnis hat Aristarch erhalten? Vergleichen Sie mit den heute bekannten wahren Werten. Worin liegen die Schwierigkeiten dieses Experiments?

Auf einer Wanderkarte im Maßstab 1 : 25 000 (was bedeutet das?) haben benachbarte Höhenlinien (20m-Höhenschichten) einen Abstand von 5 mm (bzw. 3mm, bzw. 1 mm). Wie steil ist dort das Gelände? Bestimme Steigung und Neigungswinkel.

Gegeben zwei Katheten eines rw. Dreiecks. Man berechne die Winkel und die Hypotenuse.

Gegeben 1 Kathete und ein spitzer Winkel eines rw. Dreiecks. Man berechne die Winkel und die restlichen Seitenlängen (zwei Fälle).

Wie ist es, wenn beide spitze Winkel bestimmt sind? Welche Eigenschaft der Tangensfunktion ergibt sich hieraus? tan (90° - x) = ?

Wie, wenn von einem rw. Dreieck die Hypotenuse und ein spitzer Winkel gegeben sind? Hier hilft tan nicht weiter: Anlass zur Einführung der Sinusfunktion.

 

 

Imprint

Publisher: BookRix GmbH & Co. KG

Publication Date: 07-12-2015
ISBN: 978-3-7396-0479-4

All Rights Reserved

Dedication:
Ich widm dieses Buch Meiner Frau Regine Konzack-Ziegenbalg und meinen Kindern Cora, Ellena, Mario und Laura.

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